成果簡介：

經(jīng)典力學(xué)有Newton力學(xué)、Lagrange力學(xué)和Hamilton力學(xué)三種等價的表示形式。其中，Hamilton形式把位置空間的二階運動議程組轉(zhuǎn)化為相空間內(nèi)的一階正則方程組，即Hamilton議程，它具有對稱的形式，時間深化是辛變換的演化，辛幾何結(jié)構(gòu)是Hamilton系統(tǒng)的重要特征。1984年，我國科學(xué)家馮康院士首次將保持Hamilton系統(tǒng)辛幾何結(jié)構(gòu)的思想引和數(shù)值分析，創(chuàng)立了辛算法的理論基礎(chǔ)。上世紀(jì)九十年代，在馮先生“數(shù)值算法應(yīng)盡可能保持原問題本質(zhì)特征”的思想指導(dǎo)下，辛算法被進一步推廣為多辛算法。辛與多辛算法能夠分別保持Hamilton系統(tǒng)內(nèi)在的辛與多辛結(jié)構(gòu)，在有關(guān)整體性、結(jié)構(gòu)性及長時間跟蹤能力等方面顯示出壓倒性優(yōu)勢。

該成果主要創(chuàng)新點包括：

在國際上首次將小波方法與辛算法結(jié)合，構(gòu)造出求解Hamilton系統(tǒng)的小波辛算法和小波多辛算法，證明了相關(guān)理論結(jié)果（包括精度、穩(wěn)定性、收斂性和對不變量的保持特性等），并對大量非線性偏微分方程，如Schrodinger方程、Maxwell方程、Kdv方程、Camassa-Holm方程、Zzkharov-Kuznetsov方程等，進行了數(shù)值模擬。

研究一些重要的一維和二維非線性波動方程的多辛算法，結(jié)合分裂方法、譜方法和擬譜方法，構(gòu)造出一系列高效率、高精度保結(jié)構(gòu)算法，包括Camassa-Holm議程和Kdv方程的多辛擬譜格式、耦合非線性Schrodinger方程的多辛分裂格式、二維Zzkharov-Kuznetsov方程和二維Kadomtsev-Petviashvili方程的多辛擬譜格式，等等。

針對幾個特殊模型，如Zakharov-Kuznetsov方程和耦合非線性Schrodinger方程，構(gòu)造顯式或普顯式保結(jié)構(gòu)算法，有效降低了代數(shù)系統(tǒng)的計算復(fù)雜度，提高了數(shù)值計算的效率。